如果您的 HP 5810 打印机出现 E3 错误提示，这通常表示打印机的纸张卡住了或者进纸器出现了故障。以下是一些可能的解决方法：

1. 检查打印机内部是否有卡纸。打开打印机的前盖，检查是否有纸张卡在进纸器中。如果有，请轻轻地将其取出。

2. 检查纸张是否正确放置。确保纸张正确放置在进纸器中，并且进纸器的指示灯亮起。

3. 重启打印机。有时候，重启打印机可以解决一些故障。

4. 清理进纸器。如果进纸器内部有灰尘或者杂物，可能会导致进纸器出现故障。使用干净的布或者棉签轻轻地清理进纸器。

如果以上方法都无法解决问题，建议您联系 HP 客服或者专业技术人员进行维修。